《Picard定理/现代数学中的著名定理纵横谈丛书》通过四大部分介绍了有关毕卡定理的相关知识及应用。读者可以较全面地了解这类问题的实质，还可以认识到它在其他学科中的应用。
* ~5 p, e% ~- w 《Picard定理/现代数学中的著名定理纵横谈丛书》适合广大数学爱好者阅读参考。
8 p5 d6 ^: G9 L1 e 目录
# v2 [, I& c+ u. v3 W7 ~5 p; r- Z 第一编 Goncharov论复变函数
3 p/ T9 @' b `2 g C 第一章 复数
* I7 y- l, J/ q9 P, w 1．1 毕卡其人' } T# K9 v& L+ m9 n
1．2 复数集: z' N" s9 e; ^% C& A3 F8 q- y
1．3 复数的四则运算
/ p4 I/ k6 a' S! k& i 1．4 共轭数" X% n ?& u8 y' l* ]6 j
1．5 复数的三角写法·模和辐角. {9 W( M- w5 O! J! ?" A p
1．6 复数运算的几何说明
9 y' G7 |( \+ N7 v& V4 z 1．7 模与辐角的性质
) S# ?3 N a. r1 E$ B* [: b! d0 f 习题$ b5 r9 x) }; ? S( [! P. u+ \
第二章 函数·极限·级数4 k6 s3 c2 I5 Q6 \
2．1 函数的概念·平面到平面上的映象
& o; x' y% ]+ s' D+ k! Q 2．2 数列的极限% q( q1 L7 f/ x @1 a+ A8 x
2．3 函数的极限·连续性
* x! B; b! `* X3 B9 R 2．4 数字级数
0 J6 h" V' D, k _8 C 2．5 几何级数（及其有关的级数）
5 C/ s: V& {6 c+ Q; U 习题% \! \1 `- B7 E1 T! ?
第三章 整有理函数和分式有理函数$ O3 o* K1 `7 Y1 E/ V
3．1 多项式的概念
: K3 q: Y5 f9 T 3．2 多项式的性质·代数学的基本定理2 H5 v: Z2 c8 p* [3 N
3．3 有理函数的概念
% N6 k5 `5 v2 n7 Z7 [ 3．4 有理函数的性质·展成初等分式6 B# ~' V! Z; y% t
3．5 将有理函数按z—z。的幂展开
2 X( }/ p" P E, _ 习题- \9 o7 e( k5 d. m5 b" ], t% H; H
第四章 初等超越函数# b0 C: i+ T! B% I% y7 E5 R
4．1 指数函数·欧拉公式
4 y7 K& J6 c6 Q$ `2 } 4．2 圆（三角）函数和双曲函数
9 K. f# T6 h& v/ @" b& }( ?7 b 4．3 欧拉公式应用举例- t7 A! u4 g3 f% u) ?" o3 K2 {
4．4 圆正切和双曲正切
1 a/ H1 ]" M9 W) Q+ o& [ 4．5 对数
. K P' U. r- J6 \ 4．6 任意的幂和根
2 h" W* m$ {5 Z5 _ 4．7 反三角函数和反双曲函数/ v2 N9 W& e. A$ s8 x( y5 s
习题! A1 j t1 f/ }( O F; v
第五章 导数及积分: F, [3 H$ I$ u$ @; j
5．1 复变函数导数的概念8 w# B6 W L; G& V
5．2 初等函数的导数, t% p' K/ v' e( c* E2 P
5．3 柯西一黎曼条件. j' W* C+ f/ G
5．4 积分法的基本引理
" q, A2 f, f2 ?5 b 5．5 原函数. {& D- C, o2 _* _
5．6 复积分的概念* Y2 y! q; A4 e8 x) _/ m L
5．7 复积分的性质
6 m: o8 b2 ?) y+ X2 k1 ]% f& { 5．8 视作原函数增量的定积分" ]- P" w2 @2 |% B$ N1 P
5．9 复积分与积分路径无关的条件
" m8 b' p$ v& {! ^) j* f' u4 w 5．10 闭曲线上的积分# Y# \- b# F5 |4 y
5．11 由积分来定义对数( y/ I1 U, r; \# u& u2 F6 b
5．12 求有理函数的积分2 Q; C/ _$ G @' G! Q/ S) A
习题, _& @ e3 \: k; b3 l& {! ?: R4 ^
第六章 函数列和函数级数) ^: U8 m! X! B0 |1 d
6．1 关于一致收敛的一般知识
( Y' S; [1 A3 { 6．2 幂级数和它的1l生质
! d* a( e, P/ f) U$ E# | 6．3 泰勒级数, r% X6 E% y @ F
6．4 幂级数的演算方法% D& O2 P# D S1 r4 H: `
6．5 在所与区域内为一致收敛的由一般形状的多项式做成的级数（和序列）, g1 K# [& a8 }
6．6 分式有理函数做成的级数（序列）% `0 }# O- C7 o9 Z+ O9 R
6．7 另外的级数和序列+ U8 F1 T& @1 N" q
习题- v) D/ g& d' @; m1 A7 I5 d
第七章 柯西积分、解析函数的概念 R/ r4 V5 g4 u7 r
7．1 与参数有关的积分) L: l& c6 m1 i8 ^
7．2 多项式情形的柯西积分
% @" \7 b" O* w' z% o4 k 7．3 以柯西积分表示复变函数的条件
6 m: `9 g- S3 Y0 C2 e4 n 7．4 将复变函数展成幂级数, b+ n1 A3 D4 S( y; R0 l
7．5 解析（正则）函数的概念( x0 M1 r) J, F" n7 f, u# e- i
7．6 用多项式逼近解析函数. q4 m7 ~8 P. z+ W! A
7．7 解析函数的性质" t1 I8 U5 d4 }9 C8 w! T9 o8 ^. i
7．8 维尔斯特拉斯关于解析函数列极限的定理& s7 V- F8 T1 {* w0 ^' c( x
7．9 解析拓展
$ i& u' h/ ^1 Y+ y- S0 L3 G, \ 7．10 黎曼曲面
& V ]2 X, N: g% ]5 R 7．11 解析函数与解析表示 ?1 d8 W/ {$ p5 Q. C7 e$ _
习题
3 [, J s6 r) v( G 第八章 奇点、复变函数论在代数和分析上的应用
+ u0 Q( l1 {5 `# F* S 8．1 整函数及其在无限远点的变化
0 n9 H H9 Q. _$ ` 8．2 单值函数的孤立奇点、极点和本性奇点/ G1 t9 W9 U2 T" X' ]& r
8．3 在孤立奇点邻域内的洛朗展开式
$ K* C, \0 i" e. Y2 F2 ~% K$ l+ D 8．4 柯西残数定理7 V7 V1 g" g/ k. x }: ]$ F
8．5 沿闭曲线所取的对数导数的积分多项式在所与曲线内零点的数目代数学的基本定理8 I) g8 B0 q7 ?8 i }
8．6 高斯一卢卡定理
/ _" y% s0 N2 I9 x E 8．7 几个利用残数计算定积分的例子6 Y7 {7 x, {7 C2 b a
习题# e+ I( l' ?. s
第九章 保角映象、复变函数论在物理问题中的应用、复变函数论的流体力学解释
: l7 i# t4 }9 _) H" F 9．1 保角性
; K. h6 a% C9 {, I0 s J7 [( w h 9．2 地图制图学问题：球面到平面的保角映象! p' O$ f8 u4 }9 i. t* U
9．3 导数的几何意义
9 F8 `) Q& c- A* t 9．4 保角映象的图像表示法
! G. [$ T& J1 B 9．5 黎曼关于保角映象的基本定理% C6 [! @' p; U9 ~2 l1 L
9．6 拉普拉斯方程·调和函数及它的应用- S0 U5 D* G, g9 ]4 i
9．7 常数模曲线与常数辐角曲线的某些性质* C6 x8 D: o" b2 B2 N
9．8 复变函数论的流体力学表示
! N- e" e4 x9 J7 X) N1 z 习题4 E8 S( N: u: E% x% R3 ~0 ^( o
第二编 Markushevivc论整函数
2 P5 y9 f* H9 |; b- Y: f6 [+ S 第十章 整函数的概念
% A# {2 j( d% v) W" ^! U/ e 第十一章 最大模和整函数的级% t6 B- y' F4 D; p# c
第十二章 整函数的零点
1 [: \% X/ h! L/ L0 Q& s 第十三章 高等代数基本定理和毕卡小定理1 D7 H5 d' P- ` V! y8 e
第十四章 代数关系式·加法定理# X6 N" S1 K% S7 `" M1 t0 N) ~
第三编 Picard大定理7 x4 f/ ], D4 a
第十五章 毕卡大定理, t+ i6 A& J4 Z4 |4 }% [. |
15．1 引言6 h) Z) I! b) T) T
15．2 毕卡的证明
* H3 W7 w4 ^4 t* `$ p" j8 B$ a: B 15．3 博雷尔和萧特基的证明 |4 b7 J) L& G
15．4 阿尔福斯的拓扑学证明! ?. e* I6 i$ f% _, d( x$ u3 ]7 _! M, A
参考文献
. t( i3 |: L; f, l 第十六章 与整函数毕卡定理相关的两个定理( u9 v& u, x+ w6 \; E" B* j
16．1 引言
0 L' f0 W8 n+ A* j) m& ~ 16．2 缺项幂级数
: _1 G1 ]% M% F8 V' b 16．3 朱利亚线8 }$ s ?& K" L( o
16．4 例和练习
& v) K! k& Q5 Q( Y' F) U3 i 参考文献
* S( f( K& p" ?7 H 第十七章 代数曲面
! {6 Q. [$ j- I% o* U 17．1 定义
; d( }; T7 s, |& E2 [ s! E 17．2 欧拉示性数和基数原理
% ^+ X* d' V# J( _/ Q# v* I 17．3 几何亏格9 Z3 r0 C+ ~( Q2 D% j
17．4 典则除子+ i/ M0 O2 \; L
17．5 除子的相交数; G0 F* L) P' H; ? e( @8 D( ~, l4 D a
17．6 符号差定理及诺特定理
$ Z, L! ?8 p, }* H4 [ 17．7 毕卡数5 [6 ~1 V9 u9 O$ L
17．8 奇点- e6 W' I" ~) k( }
17．9 极大化曲线% u4 y' c! R' {, X2 C1 f. y4 ~
17．10 果园问题7 o4 a7 |- e$ g
17．11 曲面的分类
, z/ A4 _+ C S" @* t3 |, {1 y 参考文献
! U# m7 s9 t; Z8 D* ^ 附录I 毕业定理的另一证法* @/ W7 u5 P0 q$ O3 l9 k$ {
§1 Picard定理的另一证法3 r5 Q4 C1 a7 B+ q6 m2 o) d6 \. ?
§2 毕卡小定理9 O# g B1 B1 c! m% K- F# I
§3 周期整函数·维尔斯特拉斯定理% J g; B' ]0 Y$ I) H2 S( z3 E
附录Ⅱ 微分多项式的Picard集
5 a! q/ o9 G9 z2 j$ u9 E; C §1 引言及结论0 {; C7 U! S9 @9 t2 m1 [! d
§2 引理. f' t' L- T# T! l$ W
§3 定理1的证明 _! h$ E4 s$ {6 E7 Q$ n m
§4 定理2的证明
1 f2 V2 E; _4 b, c 参考文献
) \+ t4 F* w% y5 Z 编辑手记
" [& ?' e M( X2 ?6 f 精彩书摘
; M% j8 q$ @0 e; B, b/ A8 U( j* B 《Picard定理/现代数学中的著名定理纵横谈丛书》：- O6 [ j$ E. t: g- k* Q" t" b
但是关于复变函数论这门学科的内容和任务，历史上所形成的和大家所公认的义是另外一种非常狭窄的看法，关于平面到平面的任意映象的研究，这是属于实变函数论的范围的，比较起来，它远不及其中真正构成复变函数论研究对象的那一部分被研究得深刻彻底。
3 y* H+ A* a7 O" j3 F0 E1 G* D 按照真正的（比较狭窄的）意义来说，复变函数论就是复平面上的解析函数论，在这里，我们还不可能说明解析函数这一概念是些什么，但我们无论如何要指出，问题是要从一般的复变函数类中分离出某种特殊的“子函数类”，这些函数具有许多重要的而且相互之间密切相关的性质，特别，其中有一种性质（“保角性”），它构成了复变函数论（可以理解为解析函数论）中所研究的“平面到平面上的映象”这一概念的几何特征。
' [! @# J# T' o+ C" r1 M% i) y 函数的解析理论并不基于集论的解释，把函数说成是“两个（复数）集的元素之间的对应”，而是起源于经典数学（首先出自L.欧拉）中实际的解释：假若对于自变量的数值应该按照什么样的次序施行什么样的数学运算已经得到说明，使得可以得出与之相应的因变量的数值，我们就说函数已经定义， F0 C' L, n5 G6 C2 C) o+ N
函数概念这一实际可行的定义并不排斥集论的定义，也不和它发生矛盾：只是把它加以限制
+ u' Y: v7 |0 t P, X* s/ `! x0 e 在求助于实际可行的定义时，我们还必须明确地回答这样的问题：“数学运算”是些什么？或者：什么样的运算算是“数学运算”？8 o9 J' ~# a- e% q, J& v
……& @/ M5 K4 A0 a# ^. a7 X' E4 D: A9 g
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